Videomapping a 2π

Fino al prossimo 18 dicembre, ogni sera il salone del Palazzo della Ragione di Padova viene illuminato dalle animazioni artistiche di Sidera Aurea, realizzato da Odd Agency e che decisamente vale il prezzo del biglietto.

Però, pensavo: non è del tutto esatto dire che si tratta di un videomapping a 360°. Si tratta di un videomapping a 2π, tanta è l'ampiezza, in steradianti, dell'angolo solido illuminato dai proiettori.

Canzone del giorno: The Smashing Pumpkins - Beyond the Vale.

Impara la matematica!

Vengo a sapere grazie ai mondiali in Qatar dell'esistenza di Byju's, piattaforma per l'apprendimento a distanza con sede in India; e vengo a sapere oggi che, circa un anno fa, ha acquisito GeoGebra, software molto conosciuto tra gli studenti e gli insegnanti di matematica.

GeoGebra è abbastanza diffuso anche nelle scuole italiane, per quanto io non sappia quanti miei colleghi effettivamente lo usano e lo fanno usare anche ai loro studenti.

Ma ve le immaginate delle pubblicità del genere in Italia? 

Impara la matematica! Impara la scienza! Impara a programmare!

Figuriamoci. Questo è il Paese dove la gente si vanta di non sapere nulla di matematica, e dove "essere dalla parte della scienza" significa non credere in Dio - e, nel frattempo, credere che un virus contagi soltanto dalle 18 alle 6.

Canzone del giorno: Suede - Animal Nitrate.

Indice e anulare

Una mia ex collega, insegnante di matematica e fisica, aveva avuto il mio stesso professore di Analisi matematica all'università, una quindicina d'anni prima di me; e raccontava che, secondo il detto professore, la matematica fosse "roba da uomini". La cosa non le ha impedito di laurearsi, in ogni caso: e non ricordo troppa vena polemica, nel suo racconto. Giusto un po' di sarcasmo.

Da diversi anni nelle università, sulle riviste di divulgazione scientifica nonché sulle "terze pagine" dei quotidiani imperversano iniziative per incentivare le studentesse ad iscriversi alle cosiddette facoltà STEM (science, technology, engineering, mathematics), a quanto pare ancora feudo maschile. Addirittura erano stati stanziati fondi dal ministero dell'istruzione, qualche anno fa, a tale scopo. Come mai nessuno pensi a incentivare gli uomini a iscriversi a lettere, psicologia o scienza della formazione primaria non è dato sapere, ma va be'.

Le riviste di divulgazione scientifica ho smesso di leggerle appena mi sono iscritto all'università; ma le pagine culturali dei quotidiani, che al contrario a lungo avevo continuato a leggere, da qualche anno non le reggo più. Non c'è numero dove non ci sia il piagnisteo della donna che, da piccola, veniva bullizzata perché le piaceva la matematica piuttosto che i romanzi rosa; o il calcio piuttosto che le bambole. Io preferivo le bambole al calcio, da piccolo, e mi è stato fatto pesare parecchio; ma va be'. (Giocavo anche con le macchinine: ecco perché su di me non si scrivono articoloni.)

Insomma, il mantra è: non esistono giochi da maschi o da femmine; non esistono materie da maschi o da femmine; non esistono mestieri da maschi o da femmine. E chi sostiene che le donne siano più predisposte per i lavori di educazione, di cura, di relazione... è un sessista e un fascista.

A parte il fascismo, che ormai si invoca anche quando qualcuno parla male dei Måneskin, io potrei anche essere d'accordo, e mi spingo oltre: io detesto l'espressione essere portato per... Quando un mio allievo mi dice di non riuscire in matematica perché non è portato, io gli rispondo: smettila di dire boiate e fila a studiare. Com'è che spesso i musicisti provengono da famiglie di musicisti? Perché hanno ereditato il gene del talento musicale, o magari perché fin da piccoli hanno sentito suonare in casa? Rasoio di Ockham in azione: la risposta esatta è la seconda.

Ieri sera, tuttavia, all'Eredità, a un certo punto compare una curiosa domanda:

Faccio una rapida ricerca, e a quanto pare uno studio esiste. L'ha condotto Mark J. Brosnan, dell'università di Bath, ancora nel 2010. Il testosterone e gli estrogeni, durante la gravidanza, sarebbero responsabili della lunghezza delle dita, e una maggiore quantità di testosterone promuoverebbe le aree del cervello dedicate al calcolo e alla misura, mentre una maggiore quantità di estrogeni svilupperebbe le attività verbali e la comunicazione.

Lo studio sarebbe stato condotto su un campione di studenti universitari. No sex differences are found, è scritto nel sommario, ma sbaglio o il testosterone è l'ormone maschile e gli estrogeni sono femminili? Ahi ahi ahi...

Canzone del giorno: Sugarstone - Heart Palpitations.

Foglia sulla neve #19

In pieno sclero per una formula lunghissima, ho fatto una statistica sulla mia scrittura del numero 4. Risultato: su 118 istanze, l'ho scritto 50 volte chiuso (ovvero, come appare nella maggior parte dei caratteri a stampa) e 58 volte aperto.
Non ho contato le volte in cui il numero 4 è un indice o un esponente - quindi scritto in piccolo - dove è sempre aperto.

E voi, come lo scrivete?

Canzone del giorno: Ace of Base - Perfect World.

Al Libraccio

Prima settimana di lezione per gli studenti universitari, e settimana di shopping librario.

Ieri, al banco del Libraccio, rivendita di testi universitari (e non) di seconda mano, due ragazze chiedono un testo di analisi matematica piuttosto datato, che in libreria non era presente.

La commessa: Ma chi è il professore che adotta questo testo? Non potete dirgli di aggiornarsi, con tutti i testi di analisi che ci sono?

Ce le vedo proprio, le due adulescentulae, a dire oggi al prof che è un vecchio babbione... Oddio, magari glielo dicono davvero.

Canzone del giorno: The Verve - Sonnet.

Erice ISLC: prima giornata

Prima giornata del workshop ad Erice. Premessa: non sono il più giovane, ma di una quarantina di partecipanti solo due sono più giovani di me: un cinese e uno sloveno.

Primo talk: si parla di diffusione anomala. Il professore dice che il suo è il talk più difficile: io però ho seguito due corsi sui fenomeni di diffusione - dal moto browniano in poi - più uno sui processi stocastici markoviani, per cui ho almeno un'idea.

Secondo talk: si parla di intrappolamento di una particella colloidale in un cristallo liquido. Buio. Non è il campo mio, e non c'è un'adeguata introduzione. A un certo punto smetto anche di sforzarmi.

Più o meno, l'alternanza tra un seminario (per me) interessante e chiaro, e uno che mi fa venire voglia di fuggire e dimenticare al più presto la sfortunata esperienza della ricerca, si protrae per tutta la giornata. Un ricercatore francese mi dice che è normalissimo, anche se ogni tanto mi sento un po' un imbucato a un matrimonio, senza la sfacciataggine di chi lo fa abitualmente.

Certo che quando la vista è questa, chi se ne frega di quanto capisco?

Canzone del giorno: Krezip - Gentle.

Ho scritto Неравенство Чебышёва sulle slide

(Questo post è dedicato a Sara, esperta master di cene con delitto. E a Valeria, al nostro amico ы e a tutti i russi/studenti di russo!)

Venerdì scorso ho finito gli esami del dottorato. Una formalità per la quasi totalità dei dottorandi, un incubo per me.

L'anno scorso, dopo che per ovvi motivi la mia testa era stata altrove, a settembre il mio progetto era ancora fermo. Il mio supervisore era convinto che il dottorato non mi interessasse e mi consigliava di lasciarlo.

Dal suo punto di vista, non aveva tutti i torti. Ma a bloccarmi non era solo il pensiero fisso per papà. La verità è che non capivo proprio cosa mi fosse chiesto di fare, e non avevo il coraggio di dire al supervisore: prof, non mi raccapezzo: mi aiuti! Lui faceva sembrare tutto facile, e io da un lato avevo paura di deluderlo - era stato anche il mio relatore alla laurea, ed era stato molto felice della mia tesi - e dall'altro mi sentivo un incapace. Così cercavo a caso, perdendomi sempre di più.

Mi sono sempre sentito un incapace, nel dipartimento di fisica. Credevo con la laurea di aver risolto, e invece no. Soprattutto, non mi perdonerò mai l'aver distrutto la mia giovinezza nella depressione, e l'essermi di conseguenza laureato a 29 anni, anche perché la mia famiglia non mi pressava - intendi: mi viziava. Ci mancava solo il super-raccomandato viceministro Michel Martone, a dirmi che sono uno sfigato. Un po' come George W. Bush che prendeva in giro Berlusconi per il suo inglese.

Chi ha avuto a che fare con me in quei mesi sa a quale livello di ansia ero giunto. Ero convinto che non avrei passato l'anno, e che mi avrebbero richiesto indietro tutta la borsa di studio che fino ad allora avevo percepito. Alla relazione annuale, se qualcuno mi avesse fotografato, avrebbe messo come didascalia: Professore, ho peccato contro la Fisica e contro di te. Non sono più degno di essere chiamato uno scienziato. Trattami come una delle vostre donne delle pulizie. L'unica mia speranza era passare almeno due dei quattro esami in programma.

Come se non bastasse, di uno dei corsi le lezioni dovevano ancora cominciare; un altro avevo dovuto sceglierlo pur essendo agli antipodi rispetto al mio campo di ricerca, perché quelli del mio ramo erano finiti; e quanto al laboratorio di calcolo analitico, che pure mi era piaciuto frequentare, un giorno uscii dalla mensa piangendo come un bambino a cui era appena caduto il gelato, perché a pranzo un collega mi aveva detto che il professore assegnava esercizi difficili, non aiutava e più di uno era stato segato.

Nell'ufficio in cui lavoravo, c'era un professore in pensione che subito fece amicizia con me. Ma neanche lui riusciva a tranquillizzarmi.

Solo alla fine di novembre vidi un po' di luce - pioggerellina a parte. Avevo concordato l'argomento per l'esame di Sistemi complessi: la derivazione delle equazioni di Kramers e la loro applicazione all'adsorbimento fisico. Avrei presentato un articolo come se fosse mio, e il lavoro stava cominciando a prendere corpo. E - magia! - mi stava piacendo. Era la prova che avrei passato l'esame.

Il giorno in cui lo sostenni, la prima persona a saperlo dopo la mia ragazza fu il professore mio collega di ufficio. Il quale commentò: secondo me da bambino ti ha spaventato un lupo cattivo!

Il secondo esame era parecchio più facile e non avevo dubbi sull'esito, ma aveva un significato particolare per me. Uno dei due docenti era il mio - ormai ex - supervisore. E volevo sbattergli in faccia tutto ciò di cui sono capace, quando mi ritrovo in difficoltà.
Non ci furono gli abbracci riconciliatori a fine presentazione, ma dopo che cambiai progetto e supervisore, mi disse di tenerlo aggiornato sulla mia attività, e mi ha sempre dato una mano quando gliel'ho chiesta.
Sì, penso che abbia capito.

All'inizio del 2012, subito dopo la presentazione dei nuovi corsi, mi precipitai in segreteria a chiedere il cambio del piano di studi. Fuori l'esame agli antipodi e il laboratorio di calcolo analitico; dentro Modelli stocastici per la fisica della materia soffice e Semigruppi e processi di Markov, mutuato dal dipartimento di matematica. Anche quest'ultimo tema, in verità, mi riguarda solo di striscio, e non essendo più abituato al modo di ragionare dei matematici impiegai assai più tempo del previsto per completarlo.

Ma volete mettere la soddisfazione di scassare le palle ai miei amici matematici? I quali mi aiutarono dal primo all'ultimo giorno. Soprattutto Neeraja, indiana, e Juan Miguel, filippino, che si occupano proprio di teoria della probabilità: quest'ultimo mi consigliò delle dispense di un professore di Princeton che sono poco meno che un capolavoro. Leggevo una frase, ci riflettevo un attimo, commentavo per i fatti miei, andavo avanti a leggere e la frase successiva era identica al commento che avevo appena fatto!

L'argomento che avrei dovuto portare all'esame - il processo di contatto, un rudimentale modello della diffusione di un'infezione - non era facile, affatto: almeno per me che sono mezzo profano. E non mancarono i momenti di ansia.
Però mi piaceva. Il professore, il giorno dell'esame, mi disse che dovevo aver fatto uno sforzo immenso per riassumere tutte quelle cose in una trentina di slide.

Anche se credo che, pur non avendomelo detto, sia rimasto più che altro impressionato dalla scritta Неравенство Чебышёва - la disuguaglianza di Čebyšëv, sì, quella che avevo scritto in grande qualche post fa - in russo e in caratteri cirillici.
E ho pure perso venti minuti buoni, per imparare a scrivere in cirillico con LaTeX.

Esatto: a settembre, non avendone già fin sopra i capelli, mi ero iscritto ad un corso di russo ad un CTP.
Non avrei imparato niente, a parte как тебя зовут? e a leggere in cirillico, ma è un tocco di classe.

Canzone del giorno: Tame Impala - Apocalypse Dreams.

Неравенство Чебышёва

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ℙ[|X - μ| ≥ kσ] ≤ 1/k²

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Per oggi vi basti questo.

Canzone del giorno: Ace of Base - Travel To Romantis.

Non cancellare, grazie!

Rega', noi domani dobbiamo fa' lezzione, però vedete come sono previdente?

Canzone del giorno: Johnny Hallyday - Quelques cris.

Impostazione liceale

Da un paio di settimane, io e due miei compagni di dottorato abbiamo iniziato un laboratorio di calcolo analitico.
Le lezioni consistono nello svolgimento di esercizi su analisi complessa, teoria delle distribuzioni e operatori su spazi di Hilbert.

Non ho scelto di frequentarle solo perché saper fare questi conti serve sempre. L'ho scelto anche per fare pace con l'analisi complessa, l'ultimo argomento del programma di Analisi II: un corso immenso, dal ritmo serratissimo, e con pochissimo tempo per approfondire ciascun argomento. Non so neanche fino a che punto docente e assistente avessero colpa: impostazione troppo formale, troppi concetti dati per scontati, difficoltà comunicative in generale. La verità è che ancora mi leccavo le ferite di un professore che, poche settimane prima, mi aveva trattato come un cane; non mi trovavo bene con i compagni; e l'aula lugubre e le giornate piovose non risollevavano di certo il mio umore. Ma soprattutto, a quel corso capii che l'università è altra cosa rispetto al liceo: ed ero troppo legato ai ricordi del liceo per accettarlo.

Avrei passato l'esame con 25/30, ma in seguito mi sarei sempre rifiutato di riprendere in mano quegli argomenti. Una formula di Green o un integrale con i residui? Imparavo a memoria il risultato, e speravo che all'esame non me lo chiedesse.

Ma è il momento di farci pace. Anche perché Laurent, Riemann, Cauchy... non hanno colpe.

Durante le lezioni, io e i miei due compagni ci alterniamo alla lavagna. A volte svolgiamo esercizi che già il professore ci ha proposto e noi abbiamo provato, con più o meno successo, a risolvere; altre volte, svolgiamo esercizi proposti al momento. In ogni caso, i passaggi li descriviamo: intanto perché il prof ci fermi nel caso siano sbagliati, poi perché i nostri compagni possano copiare con cognizione di causa.

Ma quando è alla lavagna Matteo, e c'è da fare un po' di passaggi di algebra elementare, costui dice "ora facciamo un po' di algebretta" : tipica frase da docente universitario.
Quando sono alla lavagna io, descrivo tutto: "riduco allo stesso denominatore" , "porto le costanti fuori dal segno di integrale" , "semplifico il 2 col 2" e via dicendo. Tipiche frasi di uno scolaro o di un professore di liceo.

Non c'è niente da fare: non mi libererò mai del liceo. Tant'è vero che ci voglio insegnare.

Canzone del giorno: Mickaël Miro - Ma scandaleuse.

Maturità 2011: commento-lampo al tema di matematica

Ovviamente non ho disonorato la tradizione neanche quest'anno. Di seguito le mie impressioni sui problemi e quesiti assegnati agli studenti del liceo scientifico (tradizionale). Non vi linko testo e soluzioni perché di sicuro li avete già trovati :-)

Problema 1: piuttosto standard. I due grafici sono molto semplici da disegnare, soprattutto ricordando che sen(ωx) è periodica di periodo 2π/ω, per cui la g(x) dell'esercizio aveva periodo 2. Noiosa la seconda parte del punto 2, belli i punti 3. e 4.

Problema 2: non proprio standard. Facile il punto 1., non banale lo studio del segno della funzione in quanto richiede la risoluzione di una disequazione col metodo grafico. Noioso e poco istruttivo il punto 4.

Quesiti:

1. visto, rivisto e stravisto;
2. bello e non troppo difficile;
3. non immediato: richiede l'inversione di y = x³;
4. facile per chi ha fatto il calcolo combinatorio;
5. non chiaro: le regioni sono 2;
6. è la definizione di derivata;
7. vedi al punto 1.;
8. paraculo per filosofi;
9. bello;
10. non immediato.

Canzone del giorno: Kasabian - Fire.

Come uccidere un potenziale scienziato

... meglio: come dirottarlo verso la facoltà di lettere classiche. Dieci semplici regole, adottabili da qualsiasi insegnante.

1. Non preparare in anticipo le lezioni: l'estemporaneità avvicina la scienza all'arte aiutando ad apprezzarne la bellezza.
2. Assumere che gli studenti conoscano a memoria tutto lo scibile umano.
3. Non fare mai pause durante la lezione: possibilmente, quando mancano 10 minuti alla campanella, introdurre un argomento che ne richieda almeno 20.
4. Non chiedere mai agli studenti se riescono a seguire o se hanno domande: al massimo, un minaccioso tutto chiaro, no? con un piede già fuori della porta.
5. Non distinguere mai i passaggi e i risultati fondamentali dai semplici calcoli meccanici.
6. Evitare di scrivere alla lavagna da sinistra a destra e dall'alto in basso; e se, a un certo punto, rimangono liberi due buchi al massimo di 40 cm² ciascuno, a distanza di almeno 1,8 m l'uno dall'altro, scrivere metà formula nel primo e l'altra metà nel secondo; possibilmente, facendo le Z come i 2 e le M come le N.
7. Non dare il tempo agli studenti di copiare un passaggio: anzi, nel frattempo, cambiare la notazione.
8. Sbagliare un calcolo durante una dimostrazione, accorgersene quando ormai oltre alla lavagna si sono riempite anche le pareti, e recuperare tutto in 20 secondi - oppure, liquidare la dimostrazione con è banale (e pertanto richiesta all'esame).
9. Non coinvolgere mai gli studenti negli esempi ed esercizi in aula, e possibilmente sceglierli tutti non-standard.
10. Non fornire mai testi di riferimento o dispense.

Vi chiederete: ma perché tutto ciò dirotta proprio verso lettere classiche? Perché non verso giurisprudenza o psicologia?
Perché l'unica cosa chiara dopo una lezione di questo tipo è l'alfabeto greco, no? Con tutti i segni diacritici.

Canzone del giorno: Mickael Miro - L'horloge tourne.

Distanza punto-retta

La distanza tra un punto e una retta, in geometria analitica, è una di quelle cose di cui a scuola si dice: imparatela a memoria, si dimostra ma noi non lo facciamo. (A volte dubito persino che si informi dell'esistenza di una dimostrazione, ma non divaghiamo.)

Ma perché la distanza del punto di coordinate (x₀; y₀) dalla retta di equazione ax + by + c = 0 risulta proprio |ax₀ + by₀ + c|/(a² + b²)^1/2 ?

Scelgo il sistema di assi cartesiani Ox'y' in modo che il punto da cui calcolare la distanza sia O. La distanza tra O e la retta a di equazione a'x' + b'y' + c' = 0 è definita come la minima delle distanze tra O e un generico punto di a, ed è uguale alla distanza tra O e il piede C della perpendicolare ad a passante per O. Tale retta b ha equazione: b'x' - a'y' = 0, e l'intersezione C tra a e b ha coordinate (-a'c'/(a'² + b'²) ; -b'c'/(a'² + b'²)).

Applicando la solita formula per la distanza tra due punti, risulta che essa vale |c'|/(a'² + b'²)^1/2.

La distanza tra un punto e una retta è evidentemente invariante per isometrie, in particolare per traslazioni. Quindi, se il punto, anziché essere l'origine degli assi, ha coordinate (x₀; y₀), e la retta ha equazione ax + by + c = 0, posso applicare la trasformazione di coordinate x' = x - x₀; y' = y - y₀. Nel nuovo sistema di riferimento, il punto ha coordinate (0; 0) e la retta ha equazione ax' + by' + ax₀ + by₀ + c = 0. Cioè: sono tornato al caso particolare prima descritto, con a' = a ; b' = b ; c' = ax₀ + by₀ + c. Eseguo queste sostituzioni nella formula della distanza che avevo prima trovato (evidenziata in grassetto), e il teorema è dimostrato.

Canzone del giorno: Skillet - Yours To Hold.

Proprietà dissociativa

Sto finendo di leggere Chi sono i nemici della scienza?, l'ultimo saggio di Giorgio Israel (Lindau): notandolo in libreria, mi ha attratto soprattutto il suo porsi in contrapposizione con i semplicismi di chi attribuisce la colpa della mancata diffusione di una cultura scientifica nel nostro Paese allo strapotere della cultura umanistica "chiacchierona" nonché, tanto per cambiare, alla Chiesa.

L'autore - docente di Storia della Matematica alla "Sapienza" di Roma - lunedì scorso è stato ospite a Otto e mezzo assieme al filosofo Telmo Pievani:

Dell'impostazione "filosofica" , sia della puntata di Otto e mezzo sia del volume di Israel, mi occuperò nel commento che scriverò appena avrò voltato l'ultima pagina; per ora mi limito al punto in cui Israel ha denunciato la presenza, nei libri di testo delle elementari, dell'inesistente (ma ineliminabile, perché "ormai è entrata nell'uso") proprietà dissociativa dell'addizione.

Ebbene: innanzitutto mi oppongo, e poi su quei libri pretendo almeno una citazione! Perché la proprietà dissociativa l'ho inventata io.

Alle elementari, non mi bastava mai la matematica che ci spiegava la maestra. Giocando con la calcolatrice, avevo scoperto i numeri negativi. Da mio nonno, che aveva la mania di sottoporre i nipoti a quiz scolastici («sono di più i due terzi o i tre quarti?»), avevo appreso l'esistenza di oggetti chiamati potenze; e la maestra, spiegandoci il significato dell'apice ² per il quadrato, disse - giusto di straforo - che l'apice ³ vuol dire "moltiplicato 3 volte, alla terza potenza." Perfetto: che ci vuole? Facciamo subito i cubi, e magari anche le potenze a esponente negativo e a esponente razionale! (Scherzo, non ero così precoce: queste ultime le avrei scoperte al liceo, come i miei compagni.)

Così, mentre studiavamo le proprietà commutativa e associativa dell'addizione, non trovando qualcosa che la maestra non aveva fatto, me la inventai io. E ideai la proprietà dissociativa: sostituendo a un addendo due numeri che danno come somma tale addendo, il risultato non cambia. (*)
Non ci vuole molto a capire che è la scoperta dell'acqua calda: questa non è che la legge associativa, applicata al contrario. Non avrei mai immaginato che qualcuno mi avrebbe preso sul serio!

(*) E inventai anche una proprietà associativa per un'immaginaria sottrazione con due sottraendi... in breve, anticipai il mettere un -1 in evidenza in un'espressione algebrica.

Canzone del giorno: Augustine - Roll Commercial.

Arte incompresa

Gli esercizi di matematica non sarebbero tali se chi deve risolverli non lamentasse la loro difficoltà.
Però, voialtri scolari, e anche chi scolaro non è più, avete mai pensato alla difficoltà di scrivere un esercizio di matematica? Mi riferisco a espressioni complicate, come somme di frazioni algebriche di terzo o quarto grado: a inventarsene una non ci vuole niente, ma voglio vedere se poi come risultato viene 0, o 1, o (a - 1) ... come di norma accade con quelli che si trovano sui testi scolastici.

A me confesso che hanno sempre divertito gli esercizi di geometria analitica, poiché per risolverli spesso occorre uno sforzo di fantasia, oltre che la semplice abilità di calcolo.
In particolare, quando al liceo studiavo le coniche, mi sembrava limitativo considerare solo, per dire, parabole con l'asse di simmetria parallelo a uno dei due assi coordinati. Un giorno, tutto fomentato, ricordo che provai a ruotare di 45° in senso orario la parabola y = x², e capii il perché ;-) (viene ).

Va be'; in ogni caso, ieri, studiando, mi è venuto in mente un possibile esercizio da liceo: ovviamente, conto sul fatto che tutti i miei visitatori mi daranno la soluzione XD

Argomenti: trasformazioni nel piano, ellisse.

• Si dimostri, col metodo preferito, che le bisettrici degli angoli individuati da due rette sono sempre perpendicolari;
• Si disegnino, sul piano cartesiano, le rette: r ≡ 13x - 9y - 23 = 0 ; s ≡ x - 3y - 11 = 0 .
  
  1. Si scrivano le equazioni delle loro bisettrici;
  2. si determini un'isometria tale che, nelle nuove coordinate, l'intersezione di r e s diventi l'origine, la bisettrice degli angoli acuti diventi l'asse X e la bisettrice degli angoli ottusi l'asse Y;
  3. sul semiasse delle X positive, si determini il punto A che dista dalle rette r' e s', trasformate di r e s;
  4. si scriva l'equazione di un'ellisse che ha un fuoco nel punto A, centro di simmetria in (3; 0) e semiasse maggiore pari ad a (Suggerimento: se non si è troppo familiari con le ellissi traslate, si faccia ricorso alla definizione);
  5. si determini a in modo che l'ellisse sia tangente a r' e s';
  6. si scriva l'equazione dell'ellisse così trovata nelle coordinate originarie.

Canzone del giorno: Those Dancing Days - Hitten.