Distanza punto-retta

La distanza tra un punto e una retta, in geometria analitica, è una di quelle cose di cui a scuola si dice: imparatela a memoria, si dimostra ma noi non lo facciamo. (A volte dubito persino che si informi dell'esistenza di una dimostrazione, ma non divaghiamo.)

Ma perché la distanza del punto di coordinate (x₀; y₀) dalla retta di equazione ax + by + c = 0 risulta proprio |ax₀ + by₀ + c|/(a² + b²)^1/2 ?

Scelgo il sistema di assi cartesiani Ox'y' in modo che il punto da cui calcolare la distanza sia O. La distanza tra O e la retta a di equazione a'x' + b'y' + c' = 0 è definita come la minima delle distanze tra O e un generico punto di a, ed è uguale alla distanza tra O e il piede C della perpendicolare ad a passante per O. Tale retta b ha equazione: b'x' - a'y' = 0, e l'intersezione C tra a e b ha coordinate (-a'c'/(a'² + b'²) ; -b'c'/(a'² + b'²)).

Applicando la solita formula per la distanza tra due punti, risulta che essa vale |c'|/(a'² + b'²)^1/2.

La distanza tra un punto e una retta è evidentemente invariante per isometrie, in particolare per traslazioni. Quindi, se il punto, anziché essere l'origine degli assi, ha coordinate (x₀; y₀), e la retta ha equazione ax + by + c = 0, posso applicare la trasformazione di coordinate x' = x - x₀; y' = y - y₀. Nel nuovo sistema di riferimento, il punto ha coordinate (0; 0) e la retta ha equazione ax' + by' + ax₀ + by₀ + c = 0. Cioè: sono tornato al caso particolare prima descritto, con a' = a ; b' = b ; c' = ax₀ + by₀ + c. Eseguo queste sostituzioni nella formula della distanza che avevo prima trovato (evidenziata in grassetto), e il teorema è dimostrato.

Canzone del giorno: Skillet - Yours To Hold.